En el siguiente applet tenemos representada una elipse:
Actividad:
- Veamos primero que esta cónica es simétrica respecto a dos ejes, haciendo clic en la casilla: Ejes de Simetría.
- La intersección de dichos ejes es el centro de la cónica. Haz clic en la casilla: Centro.
- Dichos ejes cortan a la cónica en cuatro puntos que llamaremos vértices de la misma: A, A', B y B'.
Haz clic en la casilla: Vértices.
- Vuelve a hacer clic en la casilla: Ejes de simetría para ocultarlos.
- Según la definición planteada anteriormente, para determinar una elipse necesitamos dos puntos F y F' que llamaremos focos.
Haz clic en la casilla : Focos para verlos .
La distancia entre F y F' se llama 2c.
Por simetría, la distancia de un foco al centro es igual que la distancia del otro foco al centro, así que la distancia entre un foco y el centro de la elipse es c.
- El segmento que determinan los vértices A y A' se llama eje mayor de la elipse.
Haz clic en la casilla: Eje mayor .
Observa que como el punto A pertenece a la elipse va a cumplir la definición así que :
d(A,F)+d(A,F')= 2a pero por simetría d(A,F)=d(A',F') por lo que resulta que d(A,A')= 2a.
- El segmento que determinan los vértices B y B' se llama eje menor y la distancias BB' se llama 2b. Haz clic en la casilla: Eje menor.
Mueve los focos y el vértice A para ver cómo varía la forma de la elipse según la posición de ellos.
- Hemos visto tres parámetros entonces, a (2a es la constante de la elipse y a es la mitad del eje mayor), b (la mitad del eje menor) y c (la mitad de la distancia entre los focos).
Piensa: ¿b puede ser mayor que a? ¿pueden ser iguales?
- Saca los clic de las casillas con nombres de ejes mayor y menor (para ocultarlos) y haz clic en la casilla: Relación entre los parámetros.
El b y c es fácil entender porqué están marcados en los catetos del triángulo que vemos.
Veamos que la hipotenusa mide a. Como el vértice B pertenece la elipse, d(B,F)+d(B,F')=2a. Esas dos distancias son iguales por simetría por lo que d(B,F)=a.
Ahora si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo que se observa, encontraremos que : a2 = b2 + c2
Piensa: ¿a puede ser menor que c?
- Oculta ahora la relación entre los parámetros.
Veamos que los puntos de la elipse cumplen con la definición que dimos. Haz clic en la casilla: Constante y dale "play" a la animación que aparece en la esquina inferior izquierda del applet. Observa qué pasa con la suma de las distancias de los puntos P de la elipse a los focos de la misma.